Le dénombrement est le comptage de toutes les réponses possibles répondant à une question ouverte posée.
Exemple :
- De combien de façon différente peut-on ranger 10 livres sur une bibliothèque.
- Combien de groupes différents de 3 élèves peut-on faire avec une classe de 20 élèves.
Dans tous les cas de dénombrement, nous tirons un certain nombre d’éléments dans un « stock ».
Exemple :
- On tire 10 emplacements dans la bibliothèque une bibliothèque de 10 places.
- On tire 3 élèves dans un stock de 20.
Pour compté le nombre de cas possible, il faut toujours se poser les même questions:
- Description du « stock »: combien d’élément, discernable ou non.
- Combien d'élément choisit-on dans le « stock ».
- Est-ce que le « stock » change après le tirage.
- L'ordre du tirage a-t-il une importance
Type de dénombrements.
Arrangement avec répétition
Les arrangements avec répétition sont des tirages dont le « stock » ne change pas peu importe de nombre de tirage.
Le résultats des tirages précédents ne modifie pas le nombre de choix des tirages suivants
Réponses aux 4 questions:
Le résultats des tirages précédents ne modifie pas le nombre de choix des tirages suivants
Réponses aux 4 questions:
- Le stock contient n éléments discernables
- On tire p élément dans le stock.
- Le stock contient toujours n éléments après le tirage
- L'ordre est important
Exemple d'arrangement avec répétition:
Exemple de problème :
On effectue 4 tirages d’un dé à 6 faces.
- on tire à pile ou face, on tire dans un stock de 2 choix (pile ou face).
- on lance un dé à 6 faces, on tire dans un stock de 6 choix (1, 2, 3, 4, 5 et 6)
Exemple de problème :
On effectue 4 tirages d’un dé à 6 faces.
- On a 6 choix pour le 1er tirage.
- On a 6 choix pour le 2ème tirage.
- On a 6 choix pour le 3ème tirage.
- On a 6 choix pour le 4ème tirage
Permutation d’éléments distincts
Les permutations sont des cas où on arrange tous les éléments du stock dans différentes positions.
Dans ce cas nous avons un stock d’élément tous différent.
A chaque tirage, le stock diminue d'un élément.
Réponses aux 4 questions:
Dans ce cas nous avons un stock d’élément tous différent.
A chaque tirage, le stock diminue d'un élément.
Réponses aux 4 questions:
- Le stock contient n éléments discernables
- On tire n élément dans le stock (on utilise tous les éléments).
- Le stock diminue de 1 après chaque tirage
- L'ordre est important.
Exemple de permutation :
Exemple de problème :
3 personnes A, B et C font la course. Combien y a-t-il de classement possible différent ?
Les classements possibles sont A-B-C ; A-C-B ; B-A-C, B-C-A, C-A-B et
Il y a donc 6 classements possibles.
Résolution mathématique :
- Le classement des livres dans une bibliothèque
- Le mélange de 5 billes numérotée de 1 à 5
Exemple de problème :
3 personnes A, B et C font la course. Combien y a-t-il de classement possible différent ?
Les classements possibles sont A-B-C ; A-C-B ; B-A-C, B-C-A, C-A-B et
Il y a donc 6 classements possibles.
Résolution mathématique :
- Comme il y a 3 personnes, nous avons 3 choix pour la 1ère position
- Comme nous avons déjà choisi une personne pour la première position, il nous reste 3 - 1 = 2 choix pour la 2ème position
- Comme nous avons déjà choisi les 2 premières positions, il nous reste 3 – 2 = 1 choix pour la 3ème position
Permutation avec répétition (élément non-discernable)
Les permutations avec répétitions sont les cas où plusieurs éléments du stock ne sont pas différentiables.
Par exemple, si nous prenons 3 A des couleurs différentes: A A A
Réponses aux 4 questions:
Par exemple, si nous prenons 3 A des couleurs différentes: A A A
- Dans le cas d'une permutation sans répétition, les tirages A A A et A A A sont différents car on tient compte de la couleurs.
- Dans le cas d'une permutation avec répétition, les tirages A A A et A A A sont les mêmes car on ne tient pas compte de la couleurs.
Réponses aux 4 questions:
- Le stock contient n éléments: il y a n1 fois l'élément 1, n2 fois l'élément 2. n3 fois l'élément 3 etc... on a que n1 + n2 + n3 + ..... = n
- On tire n élément dans le stock (on utilise tous les éléments).
- Le stock diminue de 1 après chaque tirage
- L'ordre est important pour les éléments distincts mais pas pour les éléments identiques.
Exemple de permutation avec répétition :
Exemple de problème :
Combien d’anagrammes peut-ton écrire avec le mot : MISSISSIPI
Résolution mathématique :
Il y a 10 lettres : 1 M ; 4 I ; 4 S et 1 P.
- Les anagrammes
- Mélange de sphère de couleurs
Exemple de problème :
Combien d’anagrammes peut-ton écrire avec le mot : MISSISSIPI
Résolution mathématique :
Il y a 10 lettres : 1 M ; 4 I ; 4 S et 1 P.
- Il y a 10 ! = 3’628'800 anagrammes mais pour chaque anagramme
- Il y a 4 ! = 24 moyens de mélange les 4 S, c’est-à-dire qu’on à compté 24 fois le même anagramme pour les 4 S.
- Il y a 4 ! = 24 fois le même anagramme pour les 4 I.
- Il y a 1! = 1 fois le même anagramme pour le M.
- Il y a 1! = 1 fois le même anagramme pour le P.
Arrangement sans répétition
Les arrangements sont des cas où on arrange une partie des éléments du stock dans différentes positions mais en tenant compte de l'ordre dans lesquelles on choisit les éléments.
Réponses aux 4 questions:
Réponses aux 4 questions:
- Le stock contient n éléments distincts
- On tire p < n éléments dans le stock (si p = n nous avons une permutation).
- Le stock diminue de 1 après chaque tirage
- L'ordre est important.
Exemple de permutation avec répétition :
4 élèves A, B, C et D font une course et on sélectionne le premier et le deuxième.
Combien y a-t-il de classement différent possible ?
Les classements possibles sont A-B ; A-C ; A-D ; B-A ; B-C ; B-D, C-A ; C-B et C-D
Il y a donc 12 classements possibles.
Résolution mathématique :
Il y a 4 élèves, on en choisit 2.
- Le podium d'arrivée à une course
- On choisit l'ordre de passage de 3 élèves sur 10
4 élèves A, B, C et D font une course et on sélectionne le premier et le deuxième.
Combien y a-t-il de classement différent possible ?
Les classements possibles sont A-B ; A-C ; A-D ; B-A ; B-C ; B-D, C-A ; C-B et C-D
Il y a donc 12 classements possibles.
Résolution mathématique :
Il y a 4 élèves, on en choisit 2.
- Il y a 4 choix pour la première place.
- Il reste 3 choix pour la deuxième place
Combinaison sans répétition
Les combinaisons sont des cas où on fait des petits groupes, contrairement à l’arrangement l’ordre d’arrivée ne compte pas.
Réponses aux 4 questions:
Réponses aux 4 questions:
- Le stock contient n éléments distincts
- On tire p < n éléments dans le stock (si p = n la combinaison = 1).
- Le stock diminue de 1 après chaque tirage
- L'ordre n'est pas important.
Exemple de permutation avec répétition :
Exemple de problème :
4 élèves A, B, C et D font une course et on sélectionne les deux premiers.
Combien y a-t-il de classement différent possible ?
Dans ce cas les groupes A-B et B-A sont les mêmes, chaque classement est compté 2 fois, donc les classements possibles sont A-B ; A-C ; A-D ; B-C ; B-D et C-D
Il y a donc 6 classements possibles.
Résolution mathématique :
Il y a 4 élèves, on en choisit 2.
- Tirage de carte.
- Tirage du loto
Exemple de problème :
4 élèves A, B, C et D font une course et on sélectionne les deux premiers.
Combien y a-t-il de classement différent possible ?
Dans ce cas les groupes A-B et B-A sont les mêmes, chaque classement est compté 2 fois, donc les classements possibles sont A-B ; A-C ; A-D ; B-C ; B-D et C-D
Il y a donc 6 classements possibles.
Résolution mathématique :
Il y a 4 élèves, on en choisit 2.
- Il y a 4 choix pour la première place.
- Il reste 3 choix pour la deuxième place
- Il y a 2! = 2 fois les mêmes classements
Exemple des différents types de dénombrements
Une classe de 18 place de MEP compte 8 élèves.
Combien y a-t-il d'ordre de passage différent pour l'examen oral ?
C'est une permutation, il y a 8 ! = 40'320 ordre de passage.
C'est une permutation, il y a 8 ! = 40'320 ordre de passage.
Combien y a-t-il de plan de classe différent:
On peut utiliser un arrangement : On choisit 8 places parmi les 18 places à dispositions. Donc il y a 18 x 17 x 16 x .... x 12 x 11 = 1'764'322'560 plans de classe |
On peut utiliser un permutation avec répétition : On compte le nombre de permutation avec un stock de 24 places dont 10 places vides non discernable. Donc il y a 24 ! / 10 ! = 1'764'322'560 plans de classe |
Il y a trois travaux à faire en classe (nettoyage du tableau, lever les chaises et fermer les stores).
Combien y a-t-il de groupe possible si :
Combien y a-t-il de groupe possible si :
Un élève peut être désigné pour un ou plusieurs travail :
C'est un arrangement avec répétition : On choisit 1 élèves parmi les 8 pour chaque travail. Donc il y a 8 x 8 x 8 = 512 choix possibles. |
Il y a un élève désigné pour chaque travail :
C'est un arrangement sans répétition: On a 8 choix pour le tableau. On a 7 choix pour les chaises. On a 6 choix pour les stores. Donc il y a 8 x 7 x 6 = 336 choix possibles. |
On forme un groupe de 3 élèves pour effectuer les travaux :
C'est une combinaison : Il y a 3 ! = 6 permutations pour chaque groupe. Donc il y a 336 / 6 = 56 choix possibles. |